FUNCION PRIMITIVA.

Una funcion primitiva es aquella que despues de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integracion no vuelve exactamente a su funcion original

ej:

y=3x”+2x+18

dy/dx=6x+2

dy=6x+2 (dx)

Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c

Integral definida: Proceso de cálculo de áreas encerrada entre una curva y un eje cartesiano.

Función Primitiva: Relación dependiente de datos sobre uno (o más) valores, que declaran los límites de un área. Es la razón del por qué se le llama función primitiva, al ser la base del cálculo integral.

Sean F y f dos funciones definidas sobre el mismo intervalo (o, más generalmente, dominio).

F es una primitiva de f si y sólo si f es la derivada de F: F’ = f.

Mientras que la derivada de una función, cuando existe, es única, no es el caso de la primitiva, pues si F es una primitiva de f, también lo es F + k, donde k es cualquier constante real.

Para encontrar una primitiva de una función dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de una combinación lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendo al revés una tabla de derivadas, y luego aplicar la linealidad de la integral:

Aquí están las principales funciones primitivas:

Función F: primitiva de f función f: derivada de F

Por ejemplo, busquemos una primitiva de x → x(2–3x). Como no se conoce primitivas de un producto, desarollemos la expresión: x(2–3x)= 2x - 3×2. 2x es la derivada de x2, 3×2 es la de x3, por lo tanto 2x - 3×2 tiene como primitiva x2 - x3 + k. Si además se pide que la primitiva verifique una condición F(x0) = y0 (que recibe el nombre de condición inicial cuando se trata de un problema de física), entonces la constante k es unívocamente determinada. En el ejemplo, si se impone F(2) = 3, entonces forzosamente k = 7.

Al diferir las primitivas de una misma función f de una constante solamente, resulta que la diferencia F(b) - F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lógico notarla sin mencionar a F, sino solamente a f:

Se llama integral de f entre a y b este valor. La integral tiene un significado muy concreto en el campo de la geometría: es el área entre la curva de f, el eje de los x, y dos rectas verticales x = a y x = b: éste es el teorema fundamental del análisis.

Por linealidad, cuando f es negativa en un intervalo también lo es su integral. Por lo tanto el área de la que hemos hablado es algebraica y no geométrica. Si una función es alternadamente positiva y negativa, su integral será la suma de las áreas positivas y negativas entre la curva de f y el eje de los x.